помогите решить задачу по экономике.

[vadik]

Производственная функция фермера Р=12(кореньL),гед Р-стоимость выращенного урожая в тыс.руб, L-число рабочих.Заработная плата одного рабочего равна 2 тыс.руб.В связи с этим:
1)найдите прирост стоимости урожая после найма дополнительного работника(предельный продукт труда),если исходное кол-во рабочих16;
2)найдите выручку,прибыль и затраты фермера на заработную плату работников,если нанято 4 работника;
3)сколько надо нанять работников,чтобы прибыль была максимальной?;
4)при каком числе нанятых работников фермер несет убытки?;

[Мрако Бес]

найдите прирост стоимости урожая

в смысле себестоимости?Вообще что-то странное-за урожай выручено 12000,работник получает 2000,число работников 16.Я бы вопрос в задаче поставил так-какой бюджет фермер пилит? Но с этим к Игалю

сколько надо нанять работников,чтобы прибыль была максимальной?;

0

[ely]

за урожай выручено 12000

не 12,000, а 12,000*sqrt(16)=12,000*4=48,000

наняв 17-го работника, фермер (якобы) увеличит стоимость урожая до 12,000*sqrt(17)=49,477
при этом суммарная зп будет 2,000*17=34,000, т.е. прибыль упадет до 15,477 против 16,000 прежде

вообще, прибыль определяется (в данной гипотетической задаче), как 12,000*sqrt(L) - 2,000*L, где L - число работников

если мне не изменяет память (а она уже может), то в точке минимакса производная функции должна быть равна нулю, т.е. максимальная прибыль достигается при

12,000/(2*sqrt(L)) - 2,000 = 0
или
6,000/sqrt(L) = 2,000
откуда
sqrt(L) = 3, a L = 9

прибыль будет нулевой при
12,000*sqrt(L) - 2,000*L = 0
сокращая, получим
6*sqrt(L) - L = 0
откуда
L^2 - 6*L = 0
при L<>0 можно упростить до sqrt(L)-6 = 0, т.е. L=36
всякий дополнительный работник принесет убыток, т.е. при L>36 предприятие убыточно

весьма примитивно

[vadik]

спасибо большое!)

[ely]

да пожалуйста.
я-то ни разу не экономист и близко не стоял. но если подобные задачки представляют затруднение для будущих российских экономистов, то запад может спать спокойно

[Мрако Бес]

ely

ну математику я давно забыл,но что такое производственная функция фермера? ТОлько сейчас заметил что это не одно и то же со стоимостью продукции.Правда как она может быть больше того что фермер выручил за урожай мне всё равно не понятно.Получается что чем больше он нанял работников тем он успешней?

[ely]

что такое производственная функция фермера?

хз
а это важно знать? я ж горожанин...

как она может быть больше того что фермер выручил за урожай

да не больше, а именно сколько выручил. тока замудрили задачу. мол, чем больше работников (до определенного предела!), тем больше продукции и соответственно выручки (а цена рыночная у них в россии фиксированная и от предложения-спроса не зависит ). но после максимума при 9 нанятых работниках прибыль начинает снижаться и при 36 работниках обнуляется.
график функции - кривая, начинающаяся в начале координат (0,0), с максимумом при значении аргумента 9 и пересекающая абсциссу в точке (36,0) после чего уходящая в минусовые значения

[Мрако Бес]

ely

да,но в условии задачи говорится что стоимость выращенного урожая 12000,а откуда ещё может быть фермеру доход?

[ely]

Производственная функция фермера Р=12(кореньL),гед Р-стоимость выращенного урожая в тыс.руб, L-число рабочих.Заработная плата одного рабочего равна 2 тыс.руб.

это условие задачи. просто написано скверно. я выделил для уточнения.
имеется в виду, что P = 12*sqrt(L), т.е. стоимость не 12,000 рублей, а 12,000, умноженных на кв. корень от числа работников. чему я и удивляюсь, что кроме числа работников на стоимость ничего не влияет. россия...

[alexsmail]

если мне не изменяет память (а она уже может), то в точке минимакса производная функции должна быть равна нулю

Задачка решена, очевидно, правильно (хоть условие задачи весьма странное). Но память-таки изменяет.
Итак, мы исследуем функцию f(L)=12,000*sqrt(L) - 2,000*L, где L - число работников на нахождение максимума на интервале [0, +Inf) (L>=0).
Первая производная
f'(L)=12,000/(2*sqrt(L)) - 2,000

Если производная или равна нулю или не существует, то такая точка является точка предполагаемого экстремума (в конце концов, она может оказаться точкой минимума, максимума или точкой перегиба (точка (0, 0) функции f(x)=x^3) . В данном случае производная не существует при L=0, т.е. в точке (0, 0). Производная равна нулю при L=9, как было показано выше, т.е. в точке (9, 30,000). Т.е. у нас есть две точке экстремума (одна из них на границе). Чтобы определить какая из них минимум, какая максимум, надо или находить вторую производную (и надеяться, что она существует и не равна нулю ) или определять знак первой производной на интервалах (0, 9) и (9, +Inf). В данной задаче проще пойти вторым путем. Так, если выбрать 0<1<9, получим f'(1)=12,000/(2*sqrt(1)) - 2,000=4,000>0. 36>9, f'(36)=12,000/(2*sqrt(36)) - 2,000=-1,000<0. Итак, мы видим, что в точке (9, 30000) первая производная меняет свой знак с плюса, на минус, значит эта точка локального максимума. Но и это ещё не всё. Быть может, точка (0, 0) также точка локального максимума? Задача усложняется тем, что у нас и функция и её производная не определена на интервале (-Inf, 0) (в точке (0,0) функция определена, а производная нет). Однако мы знаем, что в правой полуокрестности точки (0,0) наша функция возрастает (если выбрать 0<1<9, получим f'(1)=12,000/(2*sqrt(1)) - 2,000=4,000>0). Это значит, что точка (0,0) не может быть точкой локального максимума.
Для определения глобального максимума на интервале [0, +Inf) нужно взять все точки локального максимума, добавить к ним все граничные точки и найти максимум.
Для нашей задачи это значит,
все точки локального максимум - точка (9, 30,000)
все граничные точки - точка (0, 0)
max(30,000, 0)=30,000
Итак, точка глобального максимума - точка (9, 30,000).

[Мрако Бес]

м-да,математику мне надо начинать опять с таблицы умножения Когда-то знал её неплохо,но после второго курса,74г.,совсем не пользовался,не надо было,и теперь на любую формулу чуть посложней смотрю как в афишу коза

[ely]

или точкой перегиба

точно. забыл уже

производная не существует при L=0, т.е. в точке (0, 0)

этот тривиальный случай я не рассматривал. экономистам ни к чему...

и функция и её производная не определена на интервале [-Inf, 0) (в точке (0,0) функция определена, а производная нет

ВОТ!!! в этом разница между математиком и физиком. математик не дрогнув рассматривает случай с отрицательным числом работников. (из физиков, помнится, только поль дирак грешил подобным)

[alexsmail]

и функция и её производная не определена на интервале [-Inf, 0) (в точке (0,0) функция определена, а производная нет

ВОТ!!! в этом разница между математиком и физиком. математик не дрогнув рассматривает случай с отрицательным числом работников. (из физиков, помнится, только поль дирак грешил подобным)

Вообще-то ноль, это не отрицательное число. Ноль - это...хм...ноль. Число работников равною нулю вполне осмысленный случай. Отрицательное число работников я не рассматривал.

[alexsmail]

Очевидно, что минимум или максимум у функции может быть только в ОДЗ (области допустимых значений) (например, количество рабочих неотрицательно ).
Также верно, что если в некоторой точке :
а) функция определена;
б) первая производная существует;
в) первая производная равняется нулю;
г) первая производная "меняет знак с плюса на минус"
то это точка максимума.

Также верно, что если в некоторой точке :
а) функция определена;
б) первая производная существует;
в) первая производная равняется нулю;
г) первая производная "меняет знак с минуса на плюс"
то это точка минимума.

Пункт г) важен. Рассмотрен (элементарную) функцию f(x)=x^3.
а) ОДЗ - (-Inf, +Inf).
б) первая производная f'(x)=3x^2. Её ОДЗ - (-Inf, +Inf).
в) Решение уравнения f'(x)=0 даёт нам одну точку (0, 0)
В самом деле,
0=f'(x)=3x^2
Отсюда x=0. f(0)=0^3=0.

Итак, в точке (0, 0), f'(x)=0.
г) Однако первая производная "не меняет своего знака в точке (0,0).
В самом деле f'(x)=3*x^2>0 для всех x, кроме нуля
(Можно сделать и прямую подстановку f'(1)=3*1^2=3>0, f'(-1)=3*(-1)^2=3>0).
Так как пункт г) не выполняется, точка (0, 0) не является ни точкой минимума, ни точкой максимума. В данном случае, это точка перегиба.

Эти определения "работают только в одну сторону". Т.е. не верно, что если нам известно, что у нас есть точка минимума, то из этого следует, что
а) функция определена;
б) первая производная существует;
в) первая производная равняется нулю;
г) первая производная "меняет знак с минуса на плюс"
то это точка минимума.

Пример "работы определений в одну сторону". Функция f(x)=|x| - модуль x, она же абсолютная величина от x, abs(x).
Напомню, определение модуля. Если x>=0, то |x|=x. Если x<0, то |x|=-x. ("Это как тюрьма, туда попадают всякие числа и положительные и отрицательные, а выходят только положительные" (или нули ), т.е. |x|>=0 для всех x). Так вот,
а) ОДЗ - (-Inf, +Inf).
б) первая производная
Вот тут начинаются "неприятности".
Посчитаем f'(x) на трёх областях. (-Inf,0), (0,0), (0, +Inf).
I. x in (-Inf,0)
По определению модуля, в этой области наша функция принимает следующий вид f(x)=x
Тогда f'(x)=1 - У нас нет ни одной точки, "подозреваемой" на экстремум.
II x in (0, +Inf)
По определению модуля, в этой области наша функция принимает следующий вид f(x)=-x
Тогда f'(x)=-1 - У нас нет ни одной точки, "подозреваемой" на экстремум.
III x=0
В этой точке производная не существует. Дело в том, что производная слева от нуля равна -1, а справа от нуля равна +1, а как известно, -1 не равно +1. Если производные слева и справа существует, конечно и не равны, то производная в самой точке не существует.
Это значит,что пункт б) не выполняется.

Несмотря на это точка (0,0) является минимумом функции f(x)=|x|. Это следует из того, что для любого x, |x|>=0.

Из этого всего следует, что при нахождении минимума алгоритм должен быть следующий: (он хорошо работает для "достаточно гладких" функций, или функций, с которым работают физики, экономисты и которые дают на экзаменах по математике в школе ):

1. Найти ОДЗ. Граничные точки ОДЗ добавить в список точек, "подозреваемых на экстремум".
2. Найти первую производную. Найти её ОДЗ (её ОДЗ является подмножеством ОДЗ из пункта первого). Точки, в которых первая производная не существует добавить в список точек, "подозреваемых на экстремум".
3. Точки, в которых первая производная равна нулю записать отдельным списком.
4. Проверить точки из первого и второго списка вместе, как они меняют знак. Это можно сделать, как я говорил двумя способами. (Если знак не меняется - это точка перегиба).
5. Рассмотреть оставшиеся точки на предмет экстремума.

Так, можно доказать, что |x| имеет минимум в точке (0,0) тем, что хоть производная не существует но она меняет знак с минуса на плюс, а потому является точкой минимума.

[ely]

Отрицательное число работников я не рассматривал

бээмет?

на интервале [-Inf, 0)

это какой интервал чисел? вернее каких чисел?

[ely]

Очевидно, что минимум или максимум у функции может быть только в ОДЗ (области допустимых значений) (например, количество рабочих неотрицательно ).
Также верно, что если в некоторой точке :
а) функция определена;
б) первая производная существует;
в) первая производная равняется нулю;
г) первая производная "меняет знак с плюса на минус"
то это точка максимума.

Также верно, что если в некоторой точке :
а) функция определена;
б) первая производная существует;
в) первая производная равняется нулю;
г) первая производная "меняет знак с минуса на плюс"
то это точка минимума.

Пункт г) важен. Рассмотрен (элементарную) функцию f(x)=x^3.
а) ОДЗ - (-Inf, +Inf).
б) первая производная f'(x)=3x^2. Её ОДЗ - (-Inf, +Inf).
в) Решение уравнения f'(x)=0 даёт нам одну точку (0, 0)
В самом деле,
0=f'(x)=3x^2
Отсюда x=0. f(0)=0^3=0.

Итак, в точке (0, 0), f'(x)=0.
г) Однако первая производная "не меняет своего знака в точке (0,0).
В самом деле f'(x)=3*x^2>0 для всех x, кроме нуля
(Можно сделать и прямую подстановку f'(1)=3*1^2=3>0, f'(-1)=3*(-1)^2=3>0).
Так как пункт г) не выполняется, точка (0, 0) не является ни точкой минимума, ни точкой максимума. В данном случае, это точка перегиба.

Эти определения "работают только в одну сторону". Т.е. не верно, что если нам известно, что у нас есть точка минимума, то из этого следует, что
а) функция определена;
б) первая производная существует;
в) первая производная равняется нулю;
г) первая производная "меняет знак с минуса на плюс"
то это точка минимума.

Пример "работы определений в одну сторону". Функция f(x)=|x| - модуль x, она же абсолютная величина от x, abs(x).
Напомню, определение модуля. Если x>=0, то |x|=x. Если x<0, то |x|=-x. ("Это как тюрьма, туда попадают всякие числа и положительные и отрицательные, а выходят только положительные" (или нули ), т.е. |x|>=0 для всех x). Так вот,
а) ОДЗ - (-Inf, +Inf).
б) первая производная
Вот тут начинаются "неприятности".
Посчитаем f'(x) на трёх областях. (-Inf,0), (0,0), (0, +Inf).
I. x in (-Inf,0)
По определению модуля, в этой области наша функция принимает следующий вид f(x)=x
Тогда f'(x)=1 - У нас нет ни одной точки, "подозреваемой" на экстремум.
II x in (0, +Inf)
По определению модуля, в этой области наша функция принимает следующий вид f(x)=-x
Тогда f'(x)=-1 - У нас нет ни одной точки, "подозреваемой" на экстремум.
III x=0
В этой точке производная не существует. Дело в том, что производная слева от нуля равна -1, а справа от нуля равна +1, а как известно, -1 не равно +1. Если производные слева и справа существует, конечно и не равны, то производная в самой точке не существует.
Это значит,что пункт б) не выполняется.

Несмотря на это точка (0,0) является минимумом функции f(x)=|x|. Это следует из того, что для любого x, |x|>=0.

Из этого всего следует, что при нахождении минимума алгоритм должен быть следующий: (он хорошо работает для "достаточно гладких" функций, или функций, с которым работают физики, экономисты и которые дают на экзаменах по математике в школе ):

1. Найти ОДЗ. Граничные точки ОДЗ добавить в список точек, "подозреваемых на экстремум".
2. Найти первую производную. Найти её ОДЗ (её ОДЗ является подмножеством ОДЗ из пункта первого). Точки, в которых первая производная не существует добавить в список точек, "подозреваемых на экстремум".
3. Точки, в которых первая производная равна нулю записать отдельным списком.
4. Проверить точки из первого списка, как они меняют знак. Это можно сделать, как я говорил двумя способами. (Если знак не меняется - это точка перегиба).
5. Рассмотреть оставшиеся точки на предмет экстремума.

многа букафф

[alexsmail]

Отрицательное число работников я не рассматривал

бээмет?

на интервале [-Inf, 0)

это какой интервал чисел? вернее каких чисел?

Бээмет. Полная цитата выглядит так:

Задача усложняется тем, что у нас и функция и её производная не определена на интервале [-Inf, 0)

Нужно было передраться, что должно быть (-Inf, 0).
Ещё раз медленнее, функция не определена для отрицательных чисел. У функции есть так называемая "естественная ОДЗ", это максимальная ОДЗ, где выражение имеет смысл (нет деления на ноль, нет корней из отрицательных чисел и т.п.). Но ничто не мешает задать и более узкую ОДЗ. Например, рассмотреть функцию f(x)=x^3 только на отрезке [-1, 1].
В нашем конкретном примере и естественная ОДЗ и "максимальная ОДЗ" совпадают вообще. Я просто констатировал, что интервал (-Inf, 0) не принадлежит ОДЗ функции. Я не уточнял это потому что не может отрицательное количество рабочих или потому что в определение функции входит квадратный корень. Где я рассматривал, отрицательное количество рабочих?

[alexsmail]

Очевидно, что минимум или максимум у функции может быть только в ОДЗ (области допустимых значений) (например, количество рабочих неотрицательно ).
...

многа букафф

Угу, я ещё пару добавил.

[ely]

Я просто констатировал, что интервал (-Inf, 0) не принадлежит ОДЗ функции

а зачем? чтобы совсем запутать будущего... гм... экономиста?

[Мрако Бес]

пора открывать новый раздел-математика.Вас двое,да Юра777