Представление геометрии Лобачевского
Модератор: Саша З.
Представление геометрии Лобачевского
Как известно геометрия Лобачевского была получена путём изменения всего одной аксиомы геометрии Евклида. В отличии от геометрии Евклида в геометрии Лобачевского, через точку вне прямой можно провести не одну, а бесконечное множество разных прямых, параллельных первой. Но как такое может быть, как это вообще можно представить? Предположим, что у нас есть двумерное пространство со своей системой координат. Предположим, что с точки зрения стороннего наблюдателя это пространство сжато вокруг центра координат. Например для стороннего наблюдателя расстояние между точкой (2, 0) и (1, 0) в два раза меньше, чем между точками (1, 0) и (0, 0) и так далее. Чем дальше от центра, тем больше сжатие. Как известно сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть конечное число. В нашем случае это число 2. Это означает, что для стороннего наблюдателя всё это пространство станет кругом с диаметром 2. Начертим отрезок, параллельный одной из осей и проходящий между точками на данной окружности. Для наблюдателя внутри сжатого пространства этот отрезок станет бесконечной прямой. Теперь поставим точку внутри окружности и вне этого отрезка. Проведём через эту точку ещё один отрезок, параллельный первому и тоже между точками на данной окружности. С точки зрения наблюдателя внутри сжатого пространства этот отрезок так же будет являться бесконечной прямой. Более того, эта прямая будет параллельна первой. Параллельность означает, что две эти бесконечные прямые никогда не пересекаются и они действительно не пересекаются. А теперь проведём через ту точку ещё один отрезок, отличный от предыдущего, так же между некоторыми точками на окружности. Но так, чтобы этот отрезок не пересекал первый отрезок. С точки зрения наблюдателя внутри сжатого пространства третий отрезок так же будет бесконечной прямой. И так, с точки зрения наблюдателя внутри сжатого пространства, вторая и третья прямые различны, проходят через одну и ту же точку вне первой прямой и никогда с ней не пересекаются, тоесть являются параллельными. Так ли это и если не так, то почему?
Re: Представление геометрии Лобачевского
Прямая в Ваших "исходных" координатах вовсе не обязательно будет прямой в координатах искривленного пространства. отрезок прямой соответствует кратчайшему (по "местным" правилам измерения) расстоянию между двумя точками (концами отрезка). Имея в виду описанную Вами метрику (способо измерения расстояний в неоднородно сжатом пространстве), попробуйте нарисовать прямые - как радиальные, так и общего положения.
Re: Представление геометрии Лобачевского
SashaL писал(а):Прямая в Ваших "исходных" координатах вовсе не обязательно будет прямой в координатах искривленного пространства.
А какой формы она будет? И что если пространство сжато не в виде круга, а в виде квадрата?
-
- Участник со стажем
- Сообщения: 680
- Зарегистрирован(а): 06 май 2003, 15:38
- Откуда: Israel, Shfela
Re: Представление геометрии Лобачевского
SashaL писал(а):Прямая в Ваших "исходных" координатах вовсе не обязательно будет прямой в координатах искривленного пространства. отрезок прямой соответствует кратчайшему (по "местным" правилам измерения) расстоянию между двумя точками (концами отрезка). Имея в виду описанную Вами метрику (способо измерения расстояний в неоднородно сжатом пространстве), попробуйте нарисовать прямые - как радиальные, так и общего положения.
Соглашусь с Вами, но с одной оговоркой: в описанной модели метрика вообще не определена. observer говорит лишь о расстояниях между точками типа (k, k) и (k+1, k+1), где k - целые неотрицательные числа (кстати, почему сумма всех таких отрезков равна 2, а не 2*sqrt(2), осталось для меня загадкой. Вопрос, разумеется, не к Вам). Но мне, например, непонятно, чему будет равно, скажем, расстояние между тт. (0.5, 0.5) и (1.5, 1.5) О произвольных точках я уже не говорю.
Так что обсуждать тут, IMHO, особо нечего.
observer, вопрос к Вам: а причем тут вообще Лобачевский? "Геометрия Лобачевского" - термин вполне конкретный и вовсе не служит для называния любой геометрии, в которой не выполняется пятый постулат Евклида.
Re: Представление геометрии Лобачевского
whim писал(а):observer говорит лишь о расстояниях между точками типа (k, k) и (k+1, k+1), где k - целые неотрицательные числа
И отрицательные. Пространство сжато вокруг центра координат и чем дальше от центра, тем больше сжато. Для наблюдателя вне этого пространства оно станет конечным или если точнее - ограниченным.
whim писал(а):кстати, почему сумма всех таких отрезков равна 2, а не 2*sqrt(2), осталось для меня загадкой
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии S = a1 / (1 - q), где a1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии. В нашем случае S = 1 / (1 - 1/2) = 2
whim писал(а):observer, вопрос к Вам: а причем тут вообще Лобачевский? "Геометрия Лобачевского" - термин вполне конкретный и вовсе не служит для называния любой геометрии, в которой не выполняется пятый постулат Евклида.
Это просто наиболее известный случай.
-
- Участник со стажем
- Сообщения: 680
- Зарегистрирован(а): 06 май 2003, 15:38
- Откуда: Israel, Shfela
Re: Представление геометрии Лобачевского
observer, я умею считать до десяти суммировать геометрическую прогрессию. Меня удивило то, что первый член ее равен 1, а не sqrt(2) (т.е. обычному расстоянию между тт. (0, 0) и (1, 1)) Но хозяин - барин.
Насчет названия я уже сказал, и, опять-таки, спорить не буду. Пусть будет Лобачевский, если Вам так больше нравится. Действительно серьезно другое: Вы недоопределили метрику, введя ее только для некоторых пар точек, хотя определена она должна быть для всех. Без этого нельзя ни о чем говорить, во всяком случае, в Вашем подходе, т.к. невозможно найти геодезические линии, которые должны играть роль прямых.
Насчет названия я уже сказал, и, опять-таки, спорить не буду. Пусть будет Лобачевский, если Вам так больше нравится. Действительно серьезно другое: Вы недоопределили метрику, введя ее только для некоторых пар точек, хотя определена она должна быть для всех. Без этого нельзя ни о чем говорить, во всяком случае, в Вашем подходе, т.к. невозможно найти геодезические линии, которые должны играть роль прямых.
Re: Представление геометрии Лобачевского
whim писал(а):Меня удивило то, что первый член ее равен 1, а не sqrt(2) (т.е. обычному расстоянию между тт. (0, 0) и (1, 1))
Моя ошибка. Я имел в виду расстояние между координатами на осях, тоесть (0, 0), (1, 0), (2, 0) и так далее. Я уже исправил исходное сообщение.
whim писал(а):Вы недоопределили метрику, введя ее только для некоторых пар точек, хотя определена она должна быть для всех.
Я предложил общий подход - сжатие простраства при удалении от центра координат. Более подробно его можно определить в ходе обсуждения. Двумерное пространство можно представить в виде бесконечного набора квадратов, стороны которых проходят через единичные отрезки осей координат. Представте, что для стороннего наблюдателя площади этих квадратов не 2^2, 4^2, 6^2 и так далее, а 2^2, 3^2, 3.5^2 и так далее. Таким образом площадь бесконечного пространаства, опять же с точки зрения стороннего наблюдателя, будет площадью квадрата со стороной 4. Давайте поговорим о таком пространстве.
Re: Представление геометрии Лобачевского
Не совсем любое пространство,это пространство с положительной кривизной,как наш мир,только наоборот.Геометрия Общей теории относительности - с отрицательной кривизной,так как масса притягивается.
Ignorance is strength
-
- Замшелый консерватор
- Сообщения: 73234
- Зарегистрирован(а): 26 ноя 2001, 02:00
- Откуда: Сад расходящихся Петек
Re: Представление геометрии Лобачевского
Лобачевский,Бояйи,Гаусс,Риман-отцы неэвклидовой геометрии.А между тем 110 лет назад,26-го сентября 1905г. в Журнале Анналы физики Эйнштейн изложил свою специальную теорию относительности,а 100 лет назад,25-го ноября 1915 Эйнштейн изложил свою общую теорию относительности в докладе на заседании Прусской академии наук
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 9 гостей